2. Арифметические и логические основы
работы ЭВМ
2.1. Системы счисления
Все фантастические возможности вычислительной техники (ВТ) реализуются путем создания разнообразных комбинаций сигналов высокого и низкого уровней, которые условились называть «единицами» и «нулями». Поэтому мы, в отличие от поэта В. Маяковского, не склонны недооценивать роль единицы, как, впрочем, и нуля. Особенно если речь идет о двоичной системе счисления.
Под системой счисления (СС) понимается способ представления любого числа с помощью алфавита символов, называемых цифрами.
СС называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, которое определяется ее местом в числе.
Десятичная СС является позиционной. На рисунке слева значение цифры 9 изменяется в зависимости от ее положения в числе. Первая слева девятка делает вклад в общее значение десятичного числа 900 единиц, вторая — 90, а третья — 9 единиц.
Римская СС является непозиционной. Значение цифры Х в числе ХХI остается неизменным при вариации ее положения в числе.
Количество различных цифр, употребляемых в позиционной СС, называется основанием СС. В десятичной СС используется десять цифр: 0, 1, 2, ..., 9; в двоичной СС — две: 0 и 1; в восьмеричной СС — восемь: 0, 1, 2, ..., 7. В СС с основанием Q используются цифры от 0 до Q – 1.
В общем случае в позиционной СС с основанием Q любое число х может быть представлено в виде полинома:
x = anQn + an-1Qn-1 + … + a1Q1 + a0Q0 + a-1Q-1 + a-2Q-2 + …+ a-mQ-m
целая часть
дробная часть
где в качестве коэффициентов ai могут стоять любые цифры, используемые в данной СС.
Принято представлять числа в виде последовательности входящих в полином соответствующих цифр (коэффициентов):
x = an an-1 … a1 a0 , a-1 a-2 … a-m
Запятая отделяет целую часть числа от дробной части. В ВТ чаще всего для отделения целой части числа от дробной части используют точку. Позиции цифр, отсчитываемые от точки, называют разрядами. В позиционной СС вес каждого разряда отличается от веса (вклада) соседнего разряда в число раз, равное основанию СС. В десятичной СС цифры 1-го разряда — единицы, 2-го — десятки, 3-го — сотни и т. д.
В ВТ применяют позиционные СС с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы и др. Для обозначения используемой СС числа заключают в скобки и индексом указывают основание СС:
(15)10; (1011)2; (735)8; (1EA9F)16.
Иногда скобки опускают и оставляют только индекс:
1510; 10112; 7358; 1EA9F16.
Есть еще один способ обозначения СС: при помощи латинских букв, добавляемых после числа. Например,
15D; 1011B; 735Q; 1EA9FH.
Установлено, что, чем больше основание СС, тем компактнее запись числа. Так двоичное изображение числа требует примерно в 3,3 раза большего количества цифр, чем его десятичное представление. Рассмотрим два числа: 97D = 1100001B. Двоичное представление числа имеет заметно большее количество цифр.
Несмотря на то, что десятичная СС имеет широкое распространение, цифровые ЭВМ строятся на двоичных (цифровых) элементах, так как реализовать элементы с десятью четко различимыми состояниями сложно. В другой системе счисления могут работать приборы декатрон и трохотрон. Декатрон — газоразрядная счетная лампа — многоэлектродный газоразрядный прибор тлеющего разряда для индикации числа импульсов в десятичной СС.
Указанные устройства не нашли применения для построения средств ВТ. Историческое развитие вычислительной техники сложилось таким образом, что цифровые ЭВМ строятся на базе двоичных цифровых устройств (триггеров, регистров, счетчиков, логических элементов и т. п.).
Заметим, что отечественная ЭВМ «Сетунь» (автор — Н.П. Брусенцов) работала с использованием троичной системы счисления.
Шестнадцатеричная и восьмеричная СС используются при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов — команд, данных, адресов и операндов. Перевод из двоичной СС в шестнадцатеричную и восьмеричную СС (и обратно) осуществляется достаточно просто.
Задача перевода из одной системы счисления в другую часто встречается при программировании и особенно часто при программировании на языке Ассемблера. Например, при определении адреса ячейки памяти, для получения двоичного или шестнадцатеричного эквивалента десятичного числа. Отдельные стандартные процедуры языков программирования Паскаль, Бейсик, HTML и Си требуют задания параметров в шестнадцатеричной системе счисления. Для непосредственного редактирования данных, записанных на жесткий диск, также необходимо умение работать с шестнадцатеричными числами. Отыскать неисправность в ЭВМ практически невозможно без представлений о двоичной системе счисления. Без знания двоичной СС невозможно понять принципы архивации, криптографии и стеганографии. Без знания двоичной СС и Булевой алгебры невозможно представить, как происходит слияние объектов в векторных графических редакторах, которые используют логические операции ИЛИ, И, И-НЕ.
В табл. 1 приведены некоторые числа, представленные в различных СС.
Таблица 1
Системы счисления
|
Десятичная
|
Двоичная
|
Восьмеричная
|
Шестнадцатерич.
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
2
|
10
|
2
|
2
|
3
|
11
|
3
|
3
|
4
|
100
|
4
|
4
|
5
|
101
|
5
|
5
|
6
|
110
|
6
|
6
|
7
|
111
|
7
|
7
|
8
|
1000
|
10
|
8
|
9
|
1001
|
11
|
9
|
10
|
1010
|
12
|
A
|
11
|
1011
|
13
|
B
|
12
|
1100
|
14
|
C
|
13
|
1101
|
15
|
D
|
14
|
1110
|
16
|
E
|
15
|
1111
|
17
|
F
|
16
|
10000
|
20
|
10
|
17
|
10001
|
21
|
11
|
Рассмотрим правило перехода из восьмеричной СС в двоичную СС.
Для перевода восьмеричного числа в двоичную СС достаточно заменить каждую цифру восьмеричного числа соответствующим трехразрядным двоичным числом. Затем необходимо удалить крайние нули слева, а при наличии точки — и крайние нули справа.
Еще одно правило перевода чисел:
Для перехода от шестнадцатеричной СС к двоичной СС каждая цифра шестнадцатеричного числа заменяется соответствующим четырехразрядным двоичным числом. У двоичного числа удаляются лидирующие нули (крайние слева), а если имеется дробная часть, то и крайние правые нули.
Пример 1. Перевести число 305.4Q из восьмеричной СС в двоичную СС.
Решение.
(3 0 5 . 4)8 = (11000101.1)2
011 000 101. 100
Переводимое число
Результат
Отмеченные символами «» нули следует отбросить. Заметим, что двоичные числа взяты из табл. 1.
Пример 2. Перевести число 7D2.EH из шестнадцатеричной СС в двоичную СС.
Решение.
(7 D 2. E)16 = (11111010010.111)2
Результат
0111 1101 0010. 1110
Переводимое число
Отмеченные крайние нули следует отбросить.
Рассмотрим еще одно правило:
Для перехода от двоичной СС к восьмеричной (или шестнадцатеричной) СС поступают следующим образом: двигаясь от точки сначала влево, а затем вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем каждую группу из трех (четырех) разрядов заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.
Пример 3. Перевести число 111001100.001В из двоичной СС в восьмеричную СС.
Решение.
(111 001 100. 001)2 = (714.1)8
7 1 4. 1
Переводимое число
Результат
Пример 4. Перевести число 10111110001.001В из двоичной СС в шестнадцатеричную СС.
Решение.
Для перевода двоичного числа в десятичную СС достаточно представить число в виде полинома, подставить в него известные коэффициенты и вычислить сумму.
Пример 5. Перевести число 11011.11В из двоичной СС в десятичную СС.
Решение.
(11011.11)2 = 124 + 123 + 022 + 121 + 120 + 12-1 + 12-2 =
= 16 + 8 + 0 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25 = (27.75)10.
Пример 6. Перевести шестнадцатеричное число 2E5.AH в десятичную СС.
Решение.
(2E5.A)16 = 2162 + 14161 + 5160 + 1016-1 = (741.625)10.
Перевод целых чисел из десятичной СС в двоичную, восьмеричную или шестнадцатеричную СС удобно делать с помощью следующего правила:
Для перевода целого числа из S-системы счисления в W-систему счисления нужно последовательно делить это число, а затем получаемые частные на основание W новой СС до тех пор, пока частное не станет меньше W.
Пример 7. Перевести целое десятичное число 37D в двоичную СС:
37 2
36 18 2
1 18 9 2
0 8 4 2
1 4 2 2
0 2 1 СЗР
0
МЗР
Решение.
Результат перевода: (37)10 = (100101)2.
При переводе наиболее частой ошибкой является неверная запись результата. Запись двоичного числа следует начинать со старшего значащего разряда (СЗР), а заканчивать записью младшего значащего разряда (МЗР). Следует помнить, что при делении первым получается значение МЗР.
Для перевода правильной дроби из S-системы счисления в СС с основанием W нужно умножить исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание W, представленное в старой S-системе. Целые части получающихся произведений дают последовательность цифр, которая является представлением дроби в W-системе счисления.
Напомним, что правильной называется дробь, числитель которой меньше знаменателя.
Пример 8. Перевести правильную десятичную дробь 0.1875D в двоичную СС.
0.1875
х 2
0 0.3750
х 2
0 0.7500
х 2
1 1.5000
х 2
1 1.0000
Решение.
Запишем результат перевода: 0.1875D = 0.0011B.
Обычно перевод дробей из одной СС в другую производят приближенно. При переводе неправильной дроби переводят отдельно целую и дробную части, руководствуясь соответствующими правилами.
Пример 9. Перевести десятичное число 9.625D в двоичную СС.
Решение.
Вначале переведем целую часть десятичного числа в двоичную СС:
9D = 1001B.
Затем переведем правильную дробь:
0.625D = 0.101B.
Окончательный ответ: 9.625D = 1001.101B.
|
