Издательская программа «Учебники и учебные пособия для педагогических училищ и колледжей» Руководитель программы






НазваниеИздательская программа «Учебники и учебные пособия для педагогических училищ и колледжей» Руководитель программы
страница3/20
Дата публикации03.03.2017
Размер3.83 Mb.
ТипПрограмма
h.120-bal.ru > Математика > Программа
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   20
§ 4. Теоретические основы понятия натурального числа

Понятие натурального числа, как и любое абстрактное понятие, это отражение общих и существенных признаков определенных явлений объективной действительности. Объек­том отражения служат количественные отношения действи­тельного мира.

Понятие числа у человека возникает в основном так же, как и другие научные понятия, т.е. на основе конкретных представлений, на основе практического опыта. Отличитель­ные черты этого процесса обусловливаются лишь сущнос­тью объектов отражения — количеством.

Особенностью количества является то, что реально коли­чественные отношения вне предметов, отдельно от них, не существуют. Чтобы отделить количественные отношения от всех других признаков предмета, нельзя сразу откинуть сами предметы или заменить разнообразные совокупности сово­купностями, составленными только из одних каких-то пред­метов. Трудности формирования понятия о количестве объяс­няются еще и тем, что в разных конкретных множествах необходимо выделить и обратить внимание на количествен­ные отношения как самые главные, самые существенные.

28

Для того чтобы выделить постоянные количественные от­ношения, следует сделать однородные множества перемен­ными, т.е. необходимо разнообразить совокупности предме­тов. Например, пять шкур, пять мешков зерна, пять пальцев на руке. Эти множества отличаются по содержанию, но они одинаковы по количеству, что становится очевидно благодаря их сравнению. Количественная сторона данных множеств, ос­таваясь постоянной, становится заметной, так как отделяется от других качественных и пространственных признаков и обоб­щается в виде абстрактного понятия числа — всех их по пять.

Следующей особенностью количественных отношений является то обстоятельство, что выделение их осуществляет­ся с помощью сравнения. Только сравнение предметов от­крывает у них количественную сторону как объективное свойство материального мира. Поэтому основным в позна­нии количества является восприятие не самих вещей, а вос­приятие их изменений — сравнение, умственная деятель­ность, динамика (Кольман Е.). Эти действия могут быть раз­ными: непосредственное сравнение, счет, измерение, что зависит от природы самих вещей. Если это дискретные (пре­рывные) величины, то сравниваются они или непосредствен­но, или с помощью пересчитывания элементов. Если же это непрерывные величины, то сравнение осуществляется изме­рением или также непосредственным сравнением. Действия сравнений зависят и от задачи более или менее точно харак­теризовать количество. Например, восемь штук, четыре ки­лограмма, пять метров и др.

Итак, при формировании у детей понятия числа важно организовать систему действий с совокупностями предме­тов, научить их различным способам выделения и оценки количества предметов. Усвоение понятия натурального числа у детей даже под влиянием целенаправленного обучения — длительный процесс. Как и любое познание, оно не простое, не непосредственное, не целостное, а достаточно сложный процесс осознания абстракций, законов, закономерностей.

Дети сами не изобретают ни действий, раскрывающих количественную сторону предметного мира, ни названий чисел, ни знаков для обозначения их записи. Это происхо­дит благодаря усвоению ими опыта предыдущих поколений (опыта взрослых). Однако личный опыт каждого ребенка так­же необходим. Без непосредственного опыта невозможно ни возникновение, ни развитие математических понятий.

На каждой ступени обобщения и углубления понятий на­турального числа следует обеспечить правильное объедине-

29

ние чувственного и логического элементов познания. Чув­ственный опыт, как и логические способы раскрытия конк­ретного понятия, развивается и усовершенствуется. Чувствен­ное познания — это наши ощущения и восприятия.

На первых этапах возникновения числовых представлений у детей чувственную основу создает оперирование предмета­ми. Для этого им необходимы разные группы (множества) предметов. Дети практически действуют с ними: складывают, раскладывают, нанизывают, накладывают, прикладывают, пересчитывают. При этом необходимо, чтобы взрослый на­правлял этот процесс на сравнение множеств по количеству (больше, меньше, поровну). Под влиянием этих действий, во-первых, развиваются операции сравнения и счета; во-вторых, формируется начальное понятие о числе как показателе мощ­ности множества.

В процессе формирования понятия числа особое значение приобретает связь счета с измерением, обучение детей по­ниманию отношения того или другого объекта (величины) как целого к его части (меры).

Позднее понятие натурального числа углубляется благо­даря оперированию самими числами: ознакомление с систе­мой счисления, изучение свойств натурального ряда, вы­полнение арифметических действий. В результате изменяется само содержание понятия натурального числа, а соответствен­но этому изменяется также восприятие количества, число­вые представления в целом. Важное значение тут приобрета­ет логический элемент познания.

Практика, индивидуальный опыт ребенка являются не только основой формирования абстрактного понятия нату­рального числа, но и способом изучения количественных отношений. Опыт в данном случае выступает как критерий жизненности, реальной значимости понятия числа.

Для ребенка в первое время его жизни слова являются только вторым сигналом действительности. Первым же яв­ляются восприятия, которые поступают в его сознание че­рез органы чувств из внешнего мира.

Упражнения для самопроверки

Возникая на основе ... представления чувственного

(в процессе практического оперирова­
ния) с множествами, ... и измерения, счета
понятие ... числа раскрывается далее в натурального
его существенных признаках, знание ко­
торых не может быть приобретено ис-

30

следованием, поскольку число не отно­сится к области непосредственного на­блюдения.

число меры

практической

теоретического

выделить конечных

множеств количественную

чисел

наибольшего число прибавить получим

ряда

задачи

численности

множеств

элементов

числительных

В конце дошкольного возраста у детей должно быть сформировано понятие о том, что ..., которое получено в результа­те счета, зависит от избранной ....

Только в результате длительного раз­вития ... деятельности и... мышления чело­век сумел... для каждого класса... эквива­лентных ..., общих для всех множеств это­го класса, их ... характеристику, которую можно выразить с помощью числа (один, два, три и т.д.).

Натуральных... бесконечно много, сре­ди них не бывает.... Какое бы большое ... мы ни взяли, если... к нему единицу, то... еще большее число.

С помощью чисел натурального ... че­ловек решает две основные ...:

  • определение... конечных... и

  • упорядочивание... конечные множе­
    ства. Отсюда и две формы ...: количествен­
    ные и порядковые числительные.

§ 5. Виды письменной нумерации. Системы счисления

Цель всякой нумерации — изображение любого натураль­ного числа с помощью небольшого количества индивидуаль­ных знаков. Этого можно было бы достичь с помощью одного знака — 1 (единицы). Каждое натуральное число тогда запи­сывалось бы повторением символа единицы столько раз, сколь­ко в этом числе вмещается единиц. Сложение сводилось бы к простому приписыванию единиц, а вычитание — к вычерки­ванию (вытиранию) их. Идея, лежащая в основе такой систе­мы, проста, однако эта система очень неудобна. Для записи больших чисел она практически не пригодна, и ею пользуют­ся только народы, у которых счет не выходит за пределы од-ного-двух десятков.

С развитием человеческого общества увеличиваются зна­ния людей и все больше становится потребность считать и записывать результаты счета довольно больших множеств, измерения больших величин.

31

У первобытных людей не было письменности, не было ни букв, ни цифр, каждую вещь, каждое действие изобра­жали рисунком. Это были реальные рисунки, отображающие то или другое количество. Постепенно они упрощались, ста­новились все более удобными для записи. Речь идет о записи чисел иероглифами. Иероглифы древних египтян свидетель­ствуют о том, что искусство счета было развито у них доста­точно высоко, с помощью иероглифов изображались боль­шие числа. Однако для дальнейшего усовершенствования счета было необходимо перейти к более удобной записи, которая позволяла бы обозначать числа специальными, более удоб­ными знаками (цифрами). Происхождение цифр у каждого народа различное.

Первые цифры встречаются более чем за 2 тыс. лет до н.э. в Вавилоне. Вавилоняне писали палочками на плитах из мяг­кой глины и потом свои записи высушивали. Письменность древних вавилонян называлась клинописью. Клинышки раз­мещались и горизонтально, и вертикально в зависимости от их значения. Вертикальные клинышки обозначали единицы, а горизонтальные, так называемые десятки — единицы вто­рого разряда.

Некоторые народы для записи чисел использовали буквы. Вместо цифр писали начальные буквы слов-числительных. Такая нумерация, например, была у древних греков. По име­ни ученого, который предложил ее, она вошла в историю культуры под названием геродианова нумерация. Так, в этой нумерации число «пять» называлось «pinta» и обозначалось буквой «Р», а число десять называлось «deka» и обозначалось буквой «Д». В настоящее время этой нумерацией не пользуется никто. В отличие от нее римская нумерация сохранилась и дошла до наших дней. Хотя теперь римские цифры встречают­ся не так часто: на циферблатах часов, для обозначения глав в книгах, столетий, на старых строениях и т.д. В римской нуме­рации есть семь узловых знаков: I, V, X, L, С, D, М.

Можно предположить, как появились эти знаки. Знак (1) — единица — это иероглиф, который изображает I па­лец (каму), знак V — изображение руки (запястье руки с отставленным большим пальцем), а для числа 10 — изобра­жение вместе двух пятерок (X). Чтобы записать числа II, III, IV, пользуются теми же самыми знаками, отображая действия с ними. Так, числа II и III повторяют единицу соответствующее число раз. Для записи числа IV перед пя­тью ставится I. В этой записи единица, поставленная перед пятеркой, вычитается из V, а единицы, поставленные за V,

32

прибавляются к ней. И точно так же единица, записанная перед десятью (X), отнимается от десяти, а та, что стоит справа, — прибавляется к ней. Число 40 обозначается XL. В этом случае от 50 отнимается 10. Для записи числа 90 от 100 отнимается 10 и записывается ХС.

Римская нумерация весьма удобна для записи чисел, но почти не пригодна для проведения вычислений. Никаких действий в письменном виде (расчеты «столбиками» и дру­гие приемы вычислений) с римскими цифрами проделать практически невозможно. Это очень большой недостаток римской нумерации.

У некоторых народов запись чисел осуществлялась буква­ми алфавита, которыми пользовались в грамматике. Эта за­пись имела место у славян, евреев, арабов, грузин.

Алфавитная система нумерации впервые была использо­вана в Греции. Самую древнюю запись, сделанную по этой системе, относят к середине V в. до н.э. Во всех алфавитных системах числа от 1 до 9 обозначали индивидуальными сим­волами с помощью соответствующих букв алфавита. В гре­ческой и славянской нумерациях над буквами, которые обо­значали цифры, чтобы отличить числа от обычных слов, ставилась черточка «титло» (~). Например, а, б, и Т-Д-Все числа от 1 до 999 записывали на основе принципа при­бавления из 27 индивидуальных знаков для цифр. Пробы записать в этой системе числа больше тысячи привели к обозначениям, которые можно рассматривать как зародыши позиционной системы. Так, для обозначения единиц тысяч использовались те же буквы, что и для единиц, но с чер­точкой слева внизу, например, @ ,, q ; и т.д.

Следы алфавитной системы сохранились до нашего вре­мени. Так, часто буквами мы нумеруем пункты докладов, резолюций и т.д. Однако алфавитный способ нумерации со­хранился у нас только для обозначения порядковых числи­тельных. Количественные числа мы никогда не обозначаем буквами, тем более никогда не оперируем с числами, запи­санными в алфавитной системе.

Старинная русская нумерация также была алфавитной. Славянское алфавитное обозначение чисел возникло в X в.

Сейчас существует индийская система записи чисел. Заве­зена она в Европу арабами, поэтому и получила название арабской нумерации. Арабская нумерация распространилась по всему миру, вытеснив все другие записи чисел. В этой нумера­ции для записи чисел используется 10 значков, которые на­зываются цифрами. Девять из них обозначают числа от 1 до 9.

33

2 Заказ 1391

Десятый значок — нуль (0) — означает отсутствие определен­ного разряда чисел. С помощью этих десяти знаков можно за­писать какие угодно большие числа. До XVIII в. на Руси пись­менные знаки, кроме нуля, назывались знамениями.

Итак, у народов разных стран была различная письмен­ная нумерация: иероглифическая — у египтян; клинопис­ная — у вавилонян; геродианова — у древних греков, фи­никийцев; алфавитная — у греков и славян; римская — в западных странах Европы; арабская — на Ближнем Востоке. Следует сказать, что теперь почти везде используется араб­ская нумерация.

Анализируя системы записи чисел (нумерации), которые имели место в истории культур разных народов, можно сде­лать вывод о том, что все письменные системы делятся на две большие группы: позиционные и непозици­онные системы счисления.

К непозиционным системам счисления принад­лежат: запись чисел иероглифами, алфавитная, римская и некоторые другие системы. Непозиционная система счисле­ния — это такая система записи чисел, когда содержание каждого символа не зависит от места, на котором он напи­сан. Эти символы являются как бы узловыми числами, а алгорифмические числа комбинируются из этих символов. Например, число 33 в непозиционной римской нумерации записывается так: XXXIII. Здесь знаки X (десять) и I (еди­ница) используются в записи числа каждый по три раза. Причем каждый раз этот знак обозначает ту же самую вели­чину: X — десять единиц, I — единица, независимо от мес­та, на котором они стоят в ряду других знаков.

В позиционных системах каждый знак имеет раз­ное значение в зависимости от того, на котором месте в записи числа он стоит. Например, в числе 222 цифра «2» повторяется трижды, но первая цифра справа обозначает две единицы, вторая — два десятка, а третья — две сотни. В этом случае мы имеем в виду десятичную систему счисления. Наря­ду с десятичной системой счисления в истории развития математики имели место двоичная, пятиричная, двадцати­ричная и др.

Позиционные системы счисления удобны тем, что они дают возможность записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого количества знаков. Важное пре­имущество позиционных систем — простота и легкость вы­полнения арифметических операций над числами, записан­ными в этих системах.

34

Появление позиционных систем обозначения чисел было одной из основных вех в истории культуры. Следует сказать, что это произошло не случайно, а как закономерная ступень в культурном развитии народов. Подтверждением этого яв­ляется самостоятельное возникновение позиционных систем у разных народов: у вавилонян — более чем за 2 тыс. лет до н.э.; у племен майя (центральная Америка) — в начале но-вой'эры; у индусов — в IV—VI в. н.э.

Происхождение позиционного принципа прежде всего следует пояснить появлением мультипликативной формы за­писи. Мультипликативная запись — это запись с помощью умножения. Кстати, эта запись появилась одновременно с изобретением первого счетного прибора, который у славян назывался абак. Так, в мультипликативной записи число 154 можно записать: 1хЮ2+5х10+4. Как видим, в этой записи отображается тот факт, что при счете некоторые количества единиц первого разряда, в данном случае десять единиц, бе­рутся за одну единицу следующего разряда, определенное количество единиц второго разряда берется, в свою очередь, за единицу третьего разряда и т.д. Это позволяет для изобра­жения количества единиц разных разрядов использовать одни и те же числовые символы. Эта же запись возможна при счете любых элементов конечных множеств.

В пятиричной системе счет осуществляется «пятками» — по пять. Так, африканские негры считают на камушках или орехах и складывают их в кучи по пять предметов в каждой. Пять таких куч они объединяют в новую кучку и т.д. При этом сначала пересчитывают камушки, потом кучки, потом большие кучи. При таком способе счета подчеркивается то обстоятельство, что с кучами камешков следует произво­дить те же самые операции, что и с отдельными камешками. Технику счета по этой системе иллюстрирует русский пу­тешественник Миклухо-Маклай. Так, характеризуя процесс пересчитывания товара туземцами Новой Гвинеи, он пишет, что чтобы посчитать количество полосок бумаги, которые обозначали число дней до возвращения корвета «Витязь», папуасы делали следующее: первый, раскладывая полоски бумаги на коленях, при каждом откладывании повторял «каре» (один), «каре» (два) и так до десяти, второй повто­рял это же слово, но при этом загибал пальцы сначала на одной, потом на другой руке. Досчитав до десяти и загнувши пальцы обеих рук, папуас опускал оба кулака на колени, проговаривая «ибен каре» — две руки. Третий папуас при этом загибал один палец на руке. С другим десятком было

35

выполнено то же самое, причем третий папуас загибал вто­рой палец, а для третьего десятка — третий палец и т.д. По­добный счет имел место и у других народов. Для такого счета необходимы были не менее чем три человека. Один считал единицы, другой — десятки, третий — сотни. Если же заме­нить пальцы тех, кто считал, камушками, помещенными в разные выемки глиняной доски или нанизанными на прути­ки, то получился бы самый простой счетный прибор.

Со временем названия разрядов при записи чисел начали пропускать. Однако для завершения позиционной системы недоставало последнего шага — введения нуля. При сравни­тельно небольшой основе счета, какой было число 10, и оперировании сравнительно большими числами, особенно после того как названия разрядных единиц начали пропус­кать, введение нуля стало просто необходимым. Символ нуля сначала мог быть изображением пустого жетона абака или видоизмененной простой точки, которую могли поставить на месте пропущенного разряда. Так или иначе, однако вве­дение нуля было совершенно неизбежным этапом законо­мерного процесса развития, который и привел к созданию современной позиционной системы.

В основе системы счисления может быть любое число, кро­ме 1 (единицы) и 0 (нуля). В Вавилоне, например, было число 60. Если за основу системы счисления берется большое число, то запись числа будет очень короткой, однако выполнение арифметических действий будет более сложным. Если же, на­оборот, взять число 2 или 3, то арифметические действия выполняются очень легко, но сама запись станет громоздкой. Можно было бы заменить десятичную систему на более удоб­ную, но переход к ней был бы связан с большими трудно­стями: прежде всего довелось бы перепечатывать заново все научные книги, переделывать все счетные приборы и маши­ны. Вряд ли такая замена была бы целесообразной. Десятичная система стала привычной, а значит, и удобной.

Упражнения для самопроверка

Последовательный ряд чисел опреде-

лялся постепенно. Основную роль в созда­нии ... чисел играла... сложения. Кроме того, использовались ..., а также умножение.

алгорифмических

операция

вычитание

знаки

клинопись иероглифы алфавитная

Для записи чисел разные народы изобретали различные .... Так, до наших

дней дошли такие виды записи: ,

36


геродианова, ..., римская и др.

И в настоящее время люди иногда
пользуются алфавитной и .., нумерациями, римской

чаще всего при обозначении порядковых числительных.

В современном обществе большинство
народов пользуется арабской (...) нумера- индусской

цией.

Письменные нумерации (системы) де­
лятся на две большие группы: позицион­
ные и ... системы счисления. непозиционные

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   20

Похожие:

Издательская программа «Учебники и учебные пособия для педагогических училищ и колледжей» Руководитель программы iconИздательская программа «Учебники и учебные пособия для педагогических...
Л. Я. Гайдаржийская; зав экспериментальным дошкольным учреждением №41 км. Вахтель

Издательская программа «Учебники и учебные пособия для педагогических училищ и колледжей» Руководитель программы iconУчебная программа Учебники и учебные пособия Пособия для учителя...
Дидактическое и методическое обеспечение образовательной программы основного общего образования

Издательская программа «Учебники и учебные пособия для педагогических училищ и колледжей» Руководитель программы iconУчебники и учебные пособия учебные иллюстрированные пособия (альбомы)
Филиал фгбоу «Учебно-методический центр по образованию на железнодорожном транспорте» в г. Иркутске

Издательская программа «Учебники и учебные пособия для педагогических училищ и колледжей» Руководитель программы iconЭлектронные учебные программы, учебники, пособия

Издательская программа «Учебники и учебные пособия для педагогических училищ и колледжей» Руководитель программы iconЭлектронные учебные программы, учебники, пособия на 2012-2013 учебный год
История. Мультимедийное учебное пособие нового образца. История Древнего мира. 5 кл

Издательская программа «Учебники и учебные пособия для педагогических училищ и колледжей» Руководитель программы iconУчебники и учебные пособия, книги для чтения и т д
Подробную информацию об учебниках, по которым учатся учащиеся 1-11 классов можно узнать на странице сайта школы

Издательская программа «Учебники и учебные пособия для педагогических училищ и колледжей» Руководитель программы iconПроцесс алюмотермитной сварки. Научная конференция студентов и молодых...
Основные публикации (учебники, учебные пособия, монографии, методические указания, пособия, положения) за последние 5 лет

Издательская программа «Учебники и учебные пособия для педагогических училищ и колледжей» Руководитель программы iconУчебники и учебные пособия: 1 «Политическая Психология»
База электронных ссылок на научную и учебную литературу по учебной дисциплине «политология»

Издательская программа «Учебники и учебные пособия для педагогических училищ и колледжей» Руководитель программы iconСписок литературы для студентов, изучающих мэмо учебники и учебные...
Гусейнов Р. История мировой экономики: Запад – Восток – Россия. Новосибирск, 2004

Издательская программа «Учебники и учебные пособия для педагогических училищ и колледжей» Руководитель программы iconУчебные пособия по географии для 6 класса Учебники есть в школьной библиотеке (Не покупать)
Н. В. Гоголь. «Майская ночь, или Утопленница», «Ночь перед Рождеством», «Страшная месть», «Заколдованное место»






При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
h.120-bal.ru
..На главнуюПоиск